三角比（sin・cos・tan）は、角度と辺の長さの関係を「比」で表すための数学の道具です。角度と1辺の長さが分かれば別の辺の長さを求めたり、辺の長さから角度を求めたりできます。
この記事では、直角三角形における三角比の基本から、sin・cos・tanの意味、30°・45°・60°の頻出値、辺や高さの求め方、基本公式、単位円による拡張、正弦定理・余弦定理までを分かりやすく解説します。
目次
三角比とは何か
三角比とは、角度に対する辺の長さの比を表すもので、sin・cos・tanの3種類があります。高校数学では、直角三角形を用いて基本的な三角比を学び、単位円を用いて一般の角へ拡張していきます。
たとえば、角度θが決まると、その角度をもつ直角三角形は大きさが違っても互いに相似になります。そのため、対応する辺の長さの比は常に一定です。この性質を利用して、角度と辺の関係を数値として表したものが三角比です。
三角比で重要なのは、辺の「長さそのもの」ではなく「辺どうしの比」を扱うことです。三角形を大きくしたり小さくしたりしても比は変わらないため、三角比は図形の大きさに左右されず利用できます。
三角比の意味
三角比では、基準となる角をθとすると、sinθ、cosθ、tanθという3つの値を考えます。
sinθは「対辺と斜辺の比」、cosθは「隣辺と斜辺の比」、tanθは「対辺と隣辺の比」です。
つまり、同じ角θでも、どの辺を組み合わせるかによって値が変わります。三角比を理解するには、まず「角度に対してどの辺を見るのか」を正しく判断することが大切です。
三角比は何に使うのか
三角比は、直接測ることが難しい長さや高さを、角度と別の長さから求めるときに使われます。
たとえば、建物の高さを測りたい場合、建物までの距離と見上げる角度が分かれば、tanを使って高さを計算できます。また、斜面の角度と長さから水平距離や高さを求めることもできます。
数学の問題だけでなく、測量、建築、物理などでも利用されており、角度と長さを結びつける重要な考え方です。
sin・cos・tanの違い
sin・cos・tanの違いは、どの2辺の比を表しているかです。
・sinθ＝対辺／斜辺
・cosθ＝隣辺／斜辺
・tanθ＝対辺／隣辺
sinは基準角に対する「対辺の割合」、cosは「隣辺の割合」として考え、具体的な図では縦・横方向の成分として捉えられます。
sin・cos・tanの定義｜直角三角形での三角比
三角比の基本は直角三角形です。まず直角を確認し、基準となる角θを決めます。そのうえで「対辺・隣辺・斜辺」を見分けます。
斜辺：直角の向かい側にある辺で、直角三角形の中で最も長い辺
対辺：基準となる角θの向かい側にある辺
隣辺：角θに接している辺のうち、斜辺ではない辺
この3つを正しく見分けられれば、三角比の式は簡単に作れます。
sin（サイン）
sinθは、対辺と斜辺の比です。
sinθ＝対辺／斜辺
たとえば、対辺が3、斜辺が5のときは、sinθ＝3/5となります。
sinは、斜辺に対して高さがどれくらいあるかを表す比と考えると分かりやすいでしょう。
cos（コサイン）
cosθは、隣辺と斜辺の比です。
cosθ＝隣辺／斜辺
隣辺が4、斜辺が5なら、cosθ＝4/5です。
sinとcosはどちらも分母が斜辺であるため、「sinは対辺、cosは隣辺」と整理すると覚えやすくなります。
tan（タンジェント）
tanθは、対辺と隣辺の比です。
tanθ＝対辺／隣辺
たとえば、対辺が3、隣辺が4なら、tanθ＝3/4です。
tanは「高さ／水平距離」と考えることができるため、坂道や建物の高さなど、傾きに関する問題でよく使われます。
対辺・隣辺・斜辺の見分け方
まず直角を探し、その向かい側を斜辺とします。次に基準となる角θを確認し、θの向かい側が対辺、θに接している斜辺以外の辺が隣辺です。
注意したいのは、基準となる角が変わると、対辺と隣辺も変わることです。問題を解くときは、最初にθの位置を確認してから辺の名前を決めましょう。
三角比の覚え方｜sin・cos・tanの見分け方
三角比を覚えるときは、式だけを丸暗記するより、辺の位置とセットで覚えるのがおすすめです。
まず、以下の3つを基本として覚えましょう。
sinθ＝対辺／斜辺、cosθ＝隣辺／斜辺、tanθ＝対辺／隣辺
「sinとcosは斜辺を使う」「tanは斜辺を使わない」と整理するのも効果的です。また、sinは縦方向、cosは横方向、tanは傾きという意味を意識すると、式を思い出しやすくなります。
よく使われる三角比｜30°・45°・60°
30°・45°・60°は、三角比の問題で特によく使われる角度です。それぞれの値を覚えておくと、計算をスムーズに進められます。
ただし、数値だけを暗記するのではなく、特殊な直角三角形の辺の比から導けるようにしておくと、忘れたときにも慌てないですみます。
30°の三角比
30°・60°・90°の直角三角形では、辺の比が以下のようになります。
1：√3：2
30°を基準にすると、対辺が1、隣辺が√3、斜辺が2なので、
-
sin30°＝1/2
-
cos30°＝√3/2
-
tan30°＝1/√3
となります。
45°の三角比
45°・45°・90°の直角三角形では、辺の比が以下のようになります。
1：1：√2
したがって、45°を基準にすると、
-
sin45°＝1/√2
-
cos45°＝1/√2
-
tan45°＝1
となります。
45°ではsinとcosが同じ値になることが大きな特徴です。
60°の三角比
60°は30°・60°・90°の三角形を使って考えられます。
60°を基準にすると、対辺が√3、隣辺が1、斜辺が2なので、
-
sin60°＝√3/2
-
cos60°＝1/2
-
tan60°＝√3
となります。
30°と60°では、sinとcosの値が入れ替わっていることにも注目しましょう。
30°・45°・60°の三角比一覧
| 角度 | sin | cos | tan |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
この表は頻出なので、しっかり覚えておきましょう。
三角比の基本的な使い方｜辺の長さや高さを求める
三角比を使った問題では、「図を確認する→対辺・隣辺・斜辺を決める→使う三角比を選ぶ→式を立てる」という流れが基本です。
辺の長さを求める
たとえば、角θと斜辺の長さが分かっていて、対辺を求める場合はsinを使います。
sinθ＝対辺／斜辺
と式を立て、分かっている値を代入して未知の辺を求めます。
一方、角θと隣辺から対辺を求めるならtanを使います。このように、求めたい辺と分かっている辺の組み合わせから、sin・cos・tanを選ぶことがポイントです。
高さを求める
高さを求める問題では、tanがよく使われます。
水平距離をx、高さをh、角度をθとすると、
tanθ＝h/x
となるため、
h＝x tanθ
として高さを求められます。
ただし、観測する人の目の高さなどが設定されている場合は、その高さも考慮する必要があります。文章題では、まず状況を図にして整理することが大切です。
具体的な問題で確認
三角比の問題を解くときは、最初に直角三角形をイメージまたは図示します。
次に基準角θを確認し、対辺・隣辺・斜辺を決めます。そのうえで、求めたい辺と分かっている辺の両方を含む三角比を選びます。
最後に式を立てて計算し、単位や答えの大きさを確認します。この手順を繰り返すことで、三角比の問題を安定して解けるようになります。
三角比の相互関係と基本公式
三角比には、sin・cos・tanを相互に結びつける公式があります。特に重要なのが、以下の2点です。
sin²θ＋cos²θ＝1
tanθ＝sinθ／cosθ
これらを利用すると、1つの三角比から別の三角比を求めたり、複雑な計算を整理したりできます。
sin²θ＋cos²θ＝1
直角三角形の対辺をa、隣辺をb、斜辺をcとすると、三平方の定理から、
a²＋b²＝c²
が成り立ちます。
両辺をc²で割ると、
(a/c)²＋(b/c)²＝1
となります。ここでa/c＝sinθ、b/c＝cosθなので、
sin²θ＋cos²θ＝1
が導かれます。
この公式は、sinとcosのどちらか一方が分かっているときに、もう一方を求める場合などに利用できます。
さらに、後述の単位円を用いて考えることで、90°より大きい角についても成り立ちます。
tanθ＝sinθ／cosθ
sinθ＝対辺／斜辺、cosθ＝隣辺／斜辺なので、
sinθ／cosθ
＝（対辺／斜辺）÷（隣辺／斜辺）
＝対辺／隣辺
となります。
対辺／隣辺はtanθそのものなので、
tanθ＝sinθ／cosθ （cosθ≠0）
となります。
その他の関係
基本公式から、さらにいくつかの関係を導くことができます。
たとえば、以下のような関係もあります。
・sin(90°−θ)＝cosθ
・cos(90°−θ)＝sinθ
30°と60°でsinとcosが入れ替わるのは、この余角の関係によるものです。
三角比の拡張｜90°より大きい角と単位円
直角三角形での三角比は主に0°〜90°の範囲で考えますが、数学では90°より大きい角についてもsin・cos・tanを扱います。
そこで登場するのが「単位円」です。
単位円とは
単位円とは、中心が原点で半径が1の円のことです。
この円上で角θだけ回転した点の座標を考えると、
x座標＝cosθ、y座標＝sinθ
としてsinとcosを表せます。
この考え方を使うことで、90°を超える角度でも三角比を一貫して考えられるようになります。
画像で説明すると、単位円上の点 (P(x,y)) では、x座標がcosθ、y座標がsinθを表します。
90°より大きい角のsin・cos・tan
90°を超えて360°までの角度では、点は第Ⅱ象限、第Ⅲ象限、第Ⅳ象限へ移動します。第Ⅱ象限ではcosは負、sinは正になります。
sinはy座標、cosはx座標に対応するため、象限によって正負が変わります。
また、tanθ＝sinθ／cosθなので、cosθが0になる90°や270°ではtanは定義されません。
このように単位円を使うと、三角比の値だけでなく、正負や角度による変化も視覚的に理解できます。
180°・270°・360°との関係
代表的な角度では、
-
0°：sin＝0、cos＝1
-
90°：sin＝1、cos＝0
-
180°：sin＝0、cos＝−1
-
270°：sin＝−1、cos＝0
-
360°：sin＝0、cos＝1
となります。
単位円では360°回転すると元の位置に戻るため、三角比には周期的な性質があることも分かります。
三角比の応用｜正弦定理・余弦定理・三角形の面積
三角比は直角三角形だけでなく、一般の三角形にも応用できます。その代表が正弦定理、余弦定理、三角比を利用した面積公式です。
正弦定理
正弦定理は、以下のような関係です。
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R
a、b、cはそれぞれ角A、B、Cの向かい側の辺、Rは外接円の半径を表します。
特に、1辺と2つの角が分かっている場合などに利用しやすく、辺とその向かい側の角を対応させて考えることがポイントです。
余弦定理
余弦定理は、以下の公式です。
a²＝b²＋c²−2bc cosA
2辺とその間の角が分かっている場合や、3辺から角度を求めたい場合などに利用できます。
また、A＝90°ならcos90°＝0となるため、
a²＝b²＋c²
となり、三平方の定理が余弦定理の特別な場合として得られます。
三角形の面積
三角形の2辺a、bと、その間の角Cが分かっている場合、面積Sは、
S＝1/2 ab sinC
で求められます。
これは中学校で学ぶ「底辺×高さ÷2」に三角比を組み合わせた公式です。
たとえば辺aを底辺とすると、高さはb sinCで表せるため、
S＝1/2×a×b sinC
となります。
高さが直接分からない三角形でも、2辺とその間の角が分かれば面積を求められる点が、この公式の大きな特徴です。
まとめ
三角比とは、角度と辺の長さの比を結びつける数学の基本的な考え方です。直角三角形では、基準となる角θに対して、
sinθ＝対辺／斜辺
cosθ＝隣辺／斜辺
tanθ＝対辺／隣辺
と定義されます。
まずは対辺・隣辺・斜辺を正しく見分け、sin・cos・tanの基本的な関係を確実に押さえましょう。30°・45°・60°の三角比は、特殊な直角三角形の辺の比と合わせて覚えると、忘れたときにも導き出せます。
三角比は公式を丸暗記するだけでなく、「どの辺とどの辺の比なのか」「なぜその値になるのか」を理解することが大切です。基本の意味を押さえたうえで問題演習を重ねると、三角比を使った計算にも対応しやすくなります。
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